进化深度学习技术近年来成为许多数学前沿研究工具的关键组成部分^[1-2]。与传统证明方法在机制上的显著区别在于，深度学习构建的底层智能体由数据驱动，即应用训练库的统计进化算法。而对于证明，标准观点（received-view）认为证明是纯语句的公式序列，其中每个公式要么是公理，要么是通过演绎规则从前序公式推导而来，数学信念的正确性得以保证。一个关键的解释问题由此凸显，即在公理演绎机制框架外，若非通过诉诸数学事实对数学信念的解释，进化AI系统的成功何以表明它们包含有关其目标的大致真理？如何避免数学事实在认知把握上的神秘化？这些是数学哲学的重要议题。数学实在论者的解释是，数学事实存在并且我们可以拥有反映数学事实的数学信念，但贝纳塞拉夫-菲尔德挑战（Benacerraf- Field Challenge）提出的可通达性困难认为，除非可以提供一个可靠性说明，否则数学事实与数学信念之间存在裂隙。近来一种论证进路正是围绕进化论展开。“数学进化论证”（Evolutionary Argument for Mathematics，EAM）认为，在适应性选择的强制力下，所形成的数学信念是真的。相关前提是演化过程为模拟的或理想化的一般模型。因此，该策略也有潜力用来说明在基于进化方法的机器介入条件下，正确的数学信念何以可能，对于理解计算机辅助数学技术的多元进展，是值得重视的理论资源及高阶证据。但在此之前，需要回应对立的“数学进化拆穿论证”（Evolutionary Debunking Argument for Mathematics，EDAM）的质疑。

一、数学进化拆穿论证

2025年5月14日，DeepMind团队正式宣布通过其人工智能AlphaEvolve得到全新的快速矩阵乘法，突破了半个世纪以来在矩阵加速领域中Strassen算法是$ {\text{M}}^{2\times 2} $相乘最佳解决方案的观点^[3-4]。与采取形式证明的传统数学方法不同，AlphaEvolve的显著特征在于使用生物进化策略，该系统由启发式算法构成的种群运作，每个程序都编码了给定问题的潜在解，进化数据库会通过模拟自然选择的循环迭代实现优化^[4]。AlphaEvolve的设计构造包括两部分：（1）生成器（大型语言模型），该组件负责引入变异。它始于若干初始程序，从当前种群中选取一些表现较好的程序，并对其进行“变异”以生成相似但略有差异的候选；（2）评估器（适应度），可从种群池中获取程序并运行，再依据程序性能为其赋予数值评分。针对数学构造类问题，该评分用于衡量构造满足特定明确属性的程度。在上述矩阵加速开发工作中，用于两矩阵相乘的算法空间，可被表征为将特定三维张量分解为若干秩一张量的过程。该分解的秩（即项的数量）恰好对应计算矩阵乘积所需的标量乘法次数。因此，开发更快的矩阵乘法算法，即找到特定张量的低秩分解。陶哲轩等人指出，AlphaEvolve广泛适用于具有极值性质的数学构造，最终输出对象是一个定义明确的数学对象^[4]。核心思想是：局部搜索并非直接在张量空间中执行，而是在生成张量分解的Python程序空间中执行。该团队以矩阵乘法目标任务上达成的最低秩，以及达成该秩的种子占比作为性能衡量指标，为其提供爬山优化信号。AlphaEvolve并非直接演化生成结构的程序，而是演化能够搜索结构的程序，从而避开混乱的局部优解。关键原理在于，即便某个问题仅存在一种最优构造，也可能存在许多不同且自然的程序能够生成它。在程序空间中进行搜索，可能为简洁性和结构提供先验知识，进而从杂乱的局部最大值中锁定到最优解。从哲学角度看，这一技术路径所反映的正是必然真理的“稀疏性原则”（Sparseness Principle），该原则指出必然真理是共享的：对某一真理，如果两个独立的过程产生了相似的结果，它们极有可能在实质层面是同一个过程。

AlphaEvolve能够在组合数学、几何学与数论等领域重新发现现有最优解或改进解，这些解不仅在理论上成立，而且在数值稳定性上达到机器精度，对任意输入给出一致结果，意味着这不是偶然拟合某个特例，而是真正“锁定”了目标数学结构的内在规律。可见，一方面，AlphaEvolve的运作实践维持了经典知识论分析中“真”与“辩护”要件独立分开的观点；另一方面，AlphaEvolve本身反映出外部主义的、客观上的可靠性。从可靠主义谱系看，它满足敏感性（sensitivity）条件，即如果真实规律发生了变化（即 P 为假），那么基于该规律的函数相应地改变其输出；粘着性（adherence）条件，即如果真实规律持续成立（P 为真），那么在任何数据充分、观测手段可靠的近可能世界中，我们都能通过合理的方法得到这个结构，而不是偶然错过它。这两个条件是构成真理追踪条件（truth-tracking account）的核心^[5]。如果自然情况下的自然选择是一种“盲目的真理追踪机制”，那么AlphaEvolve版本在某种意义上则是人工建立的受控的真理追踪。当然，AlphaEvolve只是进化深度学习方法在数学领域取得进展的一个缩影。但不同于公理演绎机制，若非诉诸数学事实对数学信念的解释，进化AI系统的成功何以表明它们不只是偶然地包含其目标的真理？这些工作很大程度上依赖某种形式的进化实在论作为解释基础。因此在哲学上，一个首要的任务是审视构成EAM直接挑战的EDAM。

EDAM是进化拆穿思想在数学解释领域的发展。与进化论证相比，EDAM也承认进化因素特别是生存压力对信念的认知地位具有影响。不同的是，进化拆穿论证试图表明某一信念与其假定主题之间不存在恰当的解释性联系来“揭穿”此信念，即不需要诉诸某个域的事实，也可以对相应域内容的信念做出解释，该信念可能缺乏事实辩护。相对地，进化论证则主张进化过程是关于真理的追踪，我们可以获得反映事实的正确信念。进化论证符合一种很有影响力的实在论立场，即任何真实存在的实体都必须能够给世界带来改变，那么进化拆穿论证就是反实在论的。

进化论证思想可追溯至18世纪的常识哲学家托马斯·里德（Thomas Reid）。他注意到，拒绝进化认知能力所产生的信念，会带来严重的负面认知后果。他说：“我发现，没有它，我一定死于一千次意外之内……我认为这种本能信念是自然最好的礼物之一。”^[6]假如非真的本能信念大量累积，智能体的健康必然会受到损害甚至消亡，在世代延续的意义上，假信念占据主导的持存是不可能的。里德的观点在斯蒂芬·波尔托（Stephen J. Boulter）那里得到发展，后者指出，一些基本信念可从其适应性价值中获得认知上的辩护。因为，（1）能够与世界成功交互的智能体比不能的智能体有更高的基因传递机会；（2）准确追踪事态发展的信念，比错误信念更能指导行动；（3）自然选择将有利于那些可靠信念形成的系统，只要其对智能体健康的正面影响负责^[7]。另外，与常识或本能信念不同，当谈及数学信念时，人们更多地想到其推理特征。不过，在一些学者看来这并不构成后者不受进化影响的理由。海伦·德科鲁兹（Helen De Cruz）以及辛诺特-阿姆斯特朗（Sinnnott-Armstrong）等指出，从任何数学信念总是有其依赖建基的原始部分看，数学信念同样受到进化约束，并以某种方式促进这些智能体祖先生存和繁殖成功^[8-9]。当与物理世界之间存在某种对应关系时，这才有可能，其依据是包括“客体归档”（Object File System，OFS）和“近似量感认知”（Approximate Numerical Cognition, ANS）在内生物数量认知系统的经验研究^[10]。在德科鲁兹看来，演化信念必须是真的才能增强机能，数学伴随人类产生，并且一直在维护、增强机能，故相应数学信念是指向真的。

在一些学者看来，如果某个F因为G而出现，那么就称G解释了F，这是进化实在论的一个关键。人们可能质疑，数学信念不同于基因，如何能够像后者那样进行代际传递？对此，至少应当区分两种不同的数学信念。一类是原始的、默会的行为动机和倾向^[11-12]；另一类是派生的、语言的评价性判断。前者是人类和与人类亲缘关系较近的灵长类动物共有的，后者仅为人类所具有^[10]。前者是后者的“原型”，受到基因调控，可遗传，后者则不然。自然选择直接作用于前者，前者再作用于后者，从而自然选择间接作用于后者。但若自然选择可间接作用于第二类数学信念的内容，数学信念的内容就可以诉诸自然选择而非数学事实来解释，数学信念就脱离了数学事实的辩护。一些进化论证理论家试图提出修正。如艾伦·贝克（Alan Baker）给出一种基于不可或缺性（Indispensable）的理论^[13]。该理论认为，对于进化现象，我们最佳的科学理论解释是追踪真的，而数学信念是这一解释所不可或缺的，因此数学信念也是追踪真的。不过，贝克的理论难以令人满意，它没有表明数学信念的内容以一种有效的方式出现在对我们拥有的这些信念的最佳解释中。

相反，进化拆穿论证者贾斯汀·克拉克-道恩（Justin Clarke-Doane）认为，重要的是智能体的数学信念如何与它们所处环境的自然事实一致。物理世界与我们的数学信念适当地一致，那么其与数学世界是否也一致并不重要^[14]。一方面，数学事实不同，我们的数学信念仍然可以保持不变。他设想了一个“躲避灌木丛中狮子”的思想实验来说明这一点。想象如下情景：一头狮子藏在木丛A中，另一头藏在木丛B中，两个祖先发现了它们。祖先P相信“1+1=2”危险更甚，应该逃走，祖先Q相信“1+1=0”没有狮子，可以留下。因为1+1=2是真的，P的信念“1+1=2”追踪了真理，因此P将比Q更具适应优势。然而，也可以假设“1+1=0”是真的，即便某一祖先持有此信念是对的，对实际危险程度的判断也会使他会被吃掉，不能获得适应优势。数学事实在物理场景中并未扮演相关角色。某位祖先比另一祖先更具有优势，实质是因为智能体的信念与周围环境的一阶逻辑真理适当地一致。克里斯托弗·史蒂芬斯（Christorpher L. Stephens）也主张，当假的积极因素和真的消极因素的成本或回报不对称时，自然选择将倾向促进产生最高收益或最低成本的信念，而非指向真^[15]。另一方面，数学事实不变，数学信念仍可能发生变化，由于准确性和效率之间的权衡，认知过程可能会偏离，而这是不可靠的。一些错误信念可能会因为与真实不符而带来适应优势，即自然选择会扭曲我们的信念，不偏向真信念。那么，我们持有的数学信念就仅仅是出于偶然才为真的。实在论者需要提供“数学事实如何左右我们信念”的证据，否则我们的数学信念不是由追踪真理的进程形成的。因此，进化拆穿论证认为，数学信念的进化溯源反而揭示我们的数学信念与数学事实间缺乏关联。可以表述其结构如下：

（EDAM₁）机体性前提：我们关于域D的数学信念P通过进化过程形成。

（EDAM₂）解释性前提：可以相信P而不论其实际真值，因此P不是追踪真的。

（EDAM₃）结论：数学事实与数学信念的形成是脱离的。数学事实与解释拥有数学信念无关。

EDAM认为，数学信念的真实性在我们关于适应性所持有的最佳科学解释中没有体现。它强调的是，实在论者试图解释我们为何持有这些信念时诉诸那些独立的规范性事实，并表明这些事实是我们信念的原因，此种做法反而缺乏科学依据，构成对数学实在论及客观主义数学观的严肃挑战。

二、EDAM是自我挫败的论证

如果EDAM是对的，那么在进化环境下所获得数学信念的正确性就只是偶然的正确。这意味着在AI辅助数学领域，进化深度学习技术尽管是一项有一阶证据支持的技术路线，却缺乏建立其合理性的高阶证据。例如，基于EAM视角，引入稀疏性原则作为适应度的一部分提供了关键的工程与计算约束。一个稀疏激活的系统，具有更少数相关的组件参与，降低了无关组件引入随机错误或偏差的可能性，这将减少错误来源。其次，可靠主义关注制程在实际中的成功。稀疏性原则通过限制参与过程的变量数量，使得过程特性更稳定。一个过度复杂的系统容易过拟合，在反事实扰动或在不同数据集间剧烈波动，稀疏性约束作为适应度的一部分将提高过程可靠性。但是，确保这一技术策略合理性的高阶证据基础首先是EAM的成立。公允地说，EDAM的确提供了批评EAM的视角。尽管如此，它其实还未提供证明EAM整体失败的决定性判据。包括玛丽·棱恩（Mary Leng）在内的一些学者主要围绕EAM提出了新解释^[16]。其中的一个关键问题在于，EDAM本身是否不成问题？近年来围绕这一问题，德科鲁兹与法比奥·斯特佩迪（Fabio Sterpetti）之间的重要论争成为讨论的核心。为反驳EDAM，德科鲁兹发展了一种达尔文主义的数学哲学理论^[17-19]。在她看来，EDAM是自我挫败（self-defeating）的论证，诉诸信念的进化谱系并不会破坏其合理性。不过，其论证的有效性受到斯特佩迪的质疑^[20]。本节的策略是分析两者的论争，指出斯特佩迪的计划没有取得预期进展，在此意义上，关于EDAM自我挫败的结论可以维持。

德科鲁兹反驳EDAM的论证建立在她对EDA的批评上。在她看来，EDA本身基于科学理论，特别是进化论与哲学反思。但按照EDA，假定我们的科学理论并不是真理追踪的。那么，基于进化论的EDA就不是真理追踪的。然而，科学理论不是真理追踪的观点来自EDA，那么这一观点显然不是也不能是真的。因此，通过不是真理追踪的EDA断言科学理论不是真理追踪，是自相矛盾的。在EDA与数学领域联系的论证上，她认为进化结构与科学之间存在着深刻的关系。一方面，“自然选择将形成倾向于产生真实信念的动物大脑，因为真实信念对于适应性决策至关重要” ^[6]416-417。另一方面，“站在进化的角度，科学是我们物种的最新发展” ^[18]。认知结构与科学之间存在连续性，如果前者是真理追踪，那么后者也是。根据她的不可或缺性论点，即数学对于科学来说是必不可少的，包含两种含义：第一，数学与科学信念是相互促进的进化产物，是人们增强适应性手段的真信念，仅此而言它们是无差别的。第二，“数学符号可被认为与科学实践中使用的其他外部工具，如显微镜、粒子加速器和滑尺没有什么不同”^[19]17，数学与科学器具就其是人类能力延伸而言，在科学构成中有实质性位置。因此，从反对EDA到反对EDAM论证的扩展是自然的。如果EDA是自我挫败的，数学又是科学不可或缺的连贯部分，EDAM也是自我挫败的。其结构可以表述如下：

（A₁）EAM可以容纳前提（EDAM₁）。

（A₂）前提EDAM₂导致矛盾。按照EDAM₂,数学信念不是真理追踪的。但我们之所以知道这一点，恰恰不能是因为EDAM₂本身不是真理追踪的。这是矛盾的。

（A₃）EDAM是自我挫败的。

相反，斯特佩迪认为，如果接受EAM的断言“数学信念是真理追踪的”，并向（A₂）逆应用，反过来将得到EAM是自我挫败的论证结构：

（$ \mathrm{A}_{1}' $）（EDAM₁）。

（$ \mathrm{A}_{2}' $）“数学信念是真理追踪的”导致矛盾。根据这一断言，数学理论是真理追踪的。但我们之所以知道这一点，恰恰不能是因为数学理论本身是真理追踪的。这是矛盾的。

（$ \mathrm{A}_{3}' $）EAM是自我挫败的。

斯特佩迪借助他对哥德尔不完全性定理的理解得到这一结论^[20]。假设我们的科学理论是真理追踪的。进化论作为一种科学理论，是真实和确定的。如果遵照德科鲁兹的说法：（1）数学源于我们进化的认知能力，这些能力是真理追踪的，以及（2）数学对于科学来说是必不可少的，故数学是真理追踪和确定的。因此，哥德尔不完全性定理作为数学结果，是真实和确定的。但他认为，根据第一不完全性定理，不可能用任何绝对可靠的方法来证明我们使用的公理是正确的，以及从中得到的定理也是正确的。所以，不能说数学是真实和确定的。进而，如果数学对于科学的真实性是必不可少的，而数学不是真实和确定的，那么科学就不能说是真实和确定的。因此，科学理论也不能说是真理追踪的。由于从真理追踪中导出不能是真理追踪的结论，所以，EAM是自我挫败的。

斯特佩迪的论证并不能取得预期进展。即便退一步说，假定他是对的，“科学与数学不是真理追踪”的极端怀疑论也不与科学实践保持一致。这将排除人们接受他结论的正当理由。科学与数学如果不是真理追踪的，那么相应的（元）论证也就不是真理追踪的，而他自己的论证本身就是一种相应的（元）论证。他论证的可信性本身需要至少存在真理追踪的可能，一旦承认这种可能存在，他的否认论证就是自我挫败的。进一步看，其所使用的部分前提也存在诸多问题：

第一，（$ \mathrm{A}_{2}' $）作为（A₂）的逆置，其前提是利用数学与科学的不可或缺性关系。尽管二人对不可或缺性的理解都保持形而上判断的中立，但还是存在着深刻的分歧。对斯特佩迪来说，该关系是指数学结果的后果，而德科鲁兹强调的则是进化能力意义上的必要性。大量科学史证据显示，在结果意义上的不可或缺性并不成立，物理理论的数学框架选项根本不唯一。例如，量子力学的表述形式并非只有海森堡的矩阵方式。另一方面，反驳结果不可或缺性的理由不直接构成对能力不可或缺性的反驳。菲尔德曾在《没有数的科学》中尝试空间点位置以取代“数”的方案^[21]。但他没有意识到：物理感知力作为分辨空间中质点的能力，只是保证了区分二元关系下的不同物，当涉及多个物的组合时，清点这些质点的能力基础超出了物理感知力的范围。一阶逻辑公式同样无法排除数学能力。对于任意记法，正如王浩指出“我们会发现，除了逻辑运算，我们还要计数不同变元的数量，经历与初等计算中类型完全相同的步骤” ^[22]235。可见，结果层面的不可或缺性关系不成立，以此预设对（A₂）逆置达到（$ \mathrm{A}_{2}' $）是行不通的。

第二，在（A₂）逆置中，斯特佩迪误解地使用了哥德尔第一不完全性定理。断言一个系统中存在不可证的定理，并不意味着这个定理在其他系统中不可证，也不说明系统中得到证明的所有其他定理不是确定的和真的。不能据此将系统整体等同为不是真的和确定的，而只能说其中部分存在不确定性。他混淆这种关系，走到“绝对论”的不可错论立场，即如果一个系统X的正确性不绝对，那么系统X就绝对不正确。我们无法断定绝对正确性的绝对正确。

第三，斯特佩迪否认德科鲁兹思想中的长期主义要素，导致其缺少对进化论证理论保护带的正确认识。考虑“趋同进化”（convergent evolution）现象，例如广泛的动物分支都具备OFS和ANS能力。德科鲁兹明确指出，实证证据显示数量认知系统是进化收敛的结果，而不是一种先天的同源现象^[23]45。假如世界上没有稳定的规律性，那么最终的认知器官系统就根本不可能得到发展，也更不可能有跨物种的功能收敛现象。从长期主义的立场看，达尔文的变异、自然选择以及复制是一个探索外部世界规律性，同时收集信息并获取知识的过程。伴随迭代次数的长时累积，自然产品可通过不同的途径达到相同结果，但斯特佩迪采取一种短期视角以否定真理追踪。与道恩类似，他认为不同的数学事实不会影响动物的生存适应性。这基于对生存抉择的机能依赖与一阶逻辑规则的混淆，仅有后者不足以理解生存选择行为^[24]6。设想一下，当祖先P和Q必须决定是在有50个还是在有100个水果的不同灌木丛中觅食时，后者显然是对族群生存更好的环境，为了做出可靠选择，他们不得不依靠ANS的功能。当祖先P和Q评估是否与敌对群体战斗时，它们依靠ANS来检查自己的群体还是对手的群体更大。逻辑还原构不成生存决策的充分条件。

回到进化深度学习技术辅助数学领域，拒绝EDAM直观上是自然的。因为无论是（1）其技术设计指导是否基于理性独一论（rational uniqueness view），即应始终如一地遵循一阶证据，不受负面高阶证据干扰；或是（2）理性妥协论（rational compromise view），即高阶证据可以对一阶的辩护产生“压制”或“削弱”作用，应当调整信念强度，甚至悬置判断。受到负面性的EDAM影响将导致团队认识与设计思路的不融贯。但一些学者可能担心EAM作为进化深度学习技术的高阶证据，会额外要求智能体必须附加具备人脑类似结构的条件。问题的核心在于趋同进化以及相关概念。趋同进化不是同源进化（homologous evolution），后者强调同源结构，即两个或多个物种从共同祖先那里继承下来的结构。这些结构在起源上相同，但在形态和功能上可能已经发生分化。相反，趋同进化的核心则是“功能相似”，并不必然要求“器官结构”相似，而是要求在一定环境中解决某些适应性问题时，独立演化出相似的解决方案。“性状”可以是宏观形态（外形、器官形态），生理功能（代谢途径层面、适应机制），分子特征（蛋白质序列、基因表达模式）以及行为模式层面（社群结构、捕食策略）的。例如，“策略网络”与生物大脑中的“基底节-皮层回路”在功能上都实现了“试错学习与动作选择”，但实现方式完全不同。同一认知功能可在不同结构介质中多重实现。值得关注的是功能等价性而非结构相似性，人工智能研究者可以从演化认知策略中提炼出算法原理，而非简单模拟脑结构。例如，敏感性要求“如果P为假，模型就不会相信P”。在进化深度学习中，这对应模型在对抗性扰动、分布外数据或特征篡改的敏感度。粘着性要求“如果P为真，模型应该稳定地相信P”。这对应模型在数据增强、环境微调或结构变异下的输出一致性。改进目标是确保模型不会因表象改变而“错过”真理。通过某些演化种群所采取的敏感性的认知策略，可用于改进传统上仅奖励“在测试集上准确率”的适应度设计。围绕粘着性的演化发展，则侧重增强系统稳定性，需要结合具体搜索策略的开发，如引入多环境训练（multi-environment training），即每代个体的评估是在一组“平行世界”中进行的。这些世界包括原始环境、对抗扰动环境以及特征丢失环境。个体在所有环境下的综合表现构成其总体适应度。趋同进化所展示的是选择压力如何将不同谱系推向相似的终点，即追踪真。理解这一关系，为人工智能中的算法设计提供了重要的类比框架。

当然，在一些学者看来（EDAM₁）本身不太可信，由于无法在近代数学中找到支持（EDAM₁）的例子，这同样是对EAM的一个挑战。不过准确地说，这种关切其实并不干涉到反驳斯特佩迪论证的目标。无论是EAM还是EDAM，争论的焦点始终在于解释性前提是否被拆穿。此外，还可以指出这种例子并非不存在。由于无法断言基因是唯一的遗传复制子，因此原则上可以引入模因进化概念，那么在某种程度上微积分从牛顿记法转到莱布尼茨记法的普及化就是典例。另一方面，也可以通过对（EDAM₁）补充适当背景的方式来回应。无论是对反对者还是EAM或EDAM都难以否认：关于数学现象的认知能力与进化进程紧密相关，那么基于现象体验的数学信念就无法排除进化进程的塑造作用。从数学理论的角度出发，蕴含EDAM的另一潜在困难，即在考虑数学现象体验的情况下，进化数学信念的正确性是不是偶然的问题。EDAM的回答是肯定的，但这与数学现象无巧合的预设基础无法调和。相反，EAM回答更为自然。在此意义上，采取真理追踪观点的EAM比EDAM更为可取。以下将着手分析这一点。

三、EDAM修正机体性前提的策略空间与EAM不对等

EAM与EDAM的共同前提（EDAM₁）所面临的一个关键反对在于断言“数学理论是进化惰性的”并以此推论“数学信念是进化惰性的”。这似乎符合通常的直觉，即数学理论是经由一系列定理-演绎证明的形式推理得到的，而后者与进化无关。因此，数学理论特别是其现代分支与进化无关。但这一断言的成立依赖两个未经检验的前提：（1）理论作为数学信念的来源，建立它们的唯一手段是演绎证明；（2）即便其他手段存在，它们也是理论驱动的（theory-driven），所以它们同样是进化惰性的。上述前提并非没有问题，这为EAM及EDAM辩护（EDAM₁）提供了选项。不过其条件是以某种程度的实在论作为基础，因此并不兼容EDAM。

对于前提（1）。从数学混杂性（motley）的角度看，研究领域中还存在大量接受无证明数学结果的实践^[25-28]。尽管如此，一些传统认识论立场仍旨在坚持这一经典数学哲学命题，即无证明与数学必然性的本质相冲突。理由是（A）：证明手段是建立或拓展理论的唯一途径，因为没有除此以外的一般认知原则的存在依据。但包括AlphaEvolve在内基于进化深度学习技术的数学发现并未采取传统形式证明，因此该理由实质构成了AlphaEvolve等的负面高阶证据，干扰遵循一阶证据的实践调节。这种观点也可视作是将逻辑刻画等同于对数学必然性的唯一刻画，但它本身充满争议。需要澄清的是，在这里数学家们并非意在挑战证明的黄金标准，而是忠实于对数学方法丰富性、复杂性的体验。在此意义上，高尔斯明确指出，数学家通常诉诸“无巧合原则”（No coincidence principle）的归因，这一原则在共同体内广泛使用^[28]。其内容是，如果数学中发生了现象上明显惊人的巧合，那么这必然是有原因的，因此没有实质的巧合。数学现象尽管可能随附于物理介质，但却不会像物理现象那样易受到主体间传播的扰动。所谓“数学现象”，是指数学模式、规律或系统行为的体验显现，可以通过图示或公式等形式加以捕捉。

这一原则并不与对必然性的一般理解冲突。比如，该原则可以在柏拉图主义的争论背景下理解，即形而上的巧合性只是无实体依据的非必然性。因此，反巧合性就是必然性。该原则同样是对理性主义基本观念的呼应。真正的数学原因具有可知性。弗雷格指出：“直接赋予我们理性的事物，作为理性的近亲，对它来说是完全透明的。”^[29]无巧合原则适当地保留了理性“原因”的因子，因此它也保留了“数学是可理解的”这一观念。如果数学本质上是可理解的，那么稳定的规律显现就不是无原因的。但透过现象毕竟不等同于理性亲近，并且无巧合原则对于反驳（A），从而反驳（1）相当重要，而关于“数学巧合”的界定目前为止还相当模糊，因此有必要给出进一步的辨析。此外，巧合与非巧合的转换似乎在很大程度上取决于人们关于世界运作方式的观念。如果我们不知道世界如何运行，几乎所有事物都可视为巧合。对于数学世界，来说更是如此。

那么，数学中能够有有意义的巧合吗？ ^①在《牛津英语词典》中，“巧合”一词被定义为“明显同时发生的事件或没有明显因果关系的情况”。但数学对象总是远离物理因果，按照这一定义，将得出结论——所有数学结果都是巧合，因为数学领域没有因果关系，这是荒谬的。所以此定义无法应用在数学领域。面对这种情况，存在两种观点。詹姆斯·马丁（James V. Martin）认为有意义的“数学巧合”并不存在，更多地只是作为一种说话方式^[30]。而贝克和马科·兰格（Marc Lange）则主张一种数学解释视角的巧合界定^[31-32]。通过对两种观点的分析可知，无巧合原则在某种意义上以实在论为基础。

马丁主张，“数学巧合”只是一种方便的说话方式。从有限时间和认知资源这一前提出发，将会得出反巧合的论证。按照马丁，将一组现象称为数学巧合与否，主要是让人分别将其评估为无趣或值得关注。这些评价性判断应该被视为对数学实践至关重要。人们没有无限的时间或资源，所以需要把注意力集中在一个领域或问题上，而不是另一个。用数学巧合来说话是为完成所有这些工作做出贡献的一种方式。说X只是一个巧合是真的，只不过是同意X不值得特别关注，不应该从数学世界的角度理解。马丁界定的一个关键缺陷在于没有回应杜威方法论中不确定性的观点。在杜威的意义上，探究价值恰恰在于没有现成的从现象A到B联系的路径。如何断定是否正在发生巧合或非巧合，是否存在非默会式区分无巧合决策依据的可能，正是哲学上需要知道的。

不同于马丁，贝克和兰格认为在日常领域的语境中支持断言“巧合的存在意味着解释的存在”，也就是说，一旦看到一些有趣的或意料之外的情况，都能以某种方式找到解释。但数学领域情况则是“巧合意味着没有解释”，因为在某个系统中说X解释了巧合，这是矛盾的。他们给出如下定义：假如对于一组数学现象，它们都是真的，这是巧合，当且仅当，这些现象有一个共同的、突出的性质，但原则上缺乏单一的、统一的解释。比如，当两个表达式显示出近乎相等的关系，但没有直接的理论解释时，就会发生这种情况。按照这一定义的字面意义来理解实践时，一些数学家涉事处置的潜在情形是不可接受的。例如，如果一位数学家认为某些现象的收集只是巧合，然后在接下来的几年里调查这些现象，那么似乎出了问题，因为没有关于潜在解释存在的信念动机。同样，如果某个数学家认为这不是巧合，然后他根本没有动力去调查，似乎也有某种内部不和谐，因为这不仅仅是可能已经有解释而无人说出来。从逻辑上看，所有的可能选项中还有“非巧合意味着没有解释”以及“非巧合意味着解释的存在”。但前者在数学意义上是矛盾的，因此非巧合意味着解释的存在。在贝克看来，数学解释还意味着数学对象是构成科学解释的不可或缺部分，如果科学解释与实在相关联，为保证这一点，所涉及的数学对象也应当与实在相关^[32]。显然，在这一立场中为说明无巧合原则，某种意义上需要以实在论为前提。

另外，对于无巧合的可解释，即所有潜在普遍联系的数学结构都存在解释。这为唯名论立场设置了一条高标准，即提供与数学具有跨分支的统一性（至少是一种动态相关性）事实相一致的说明。数学结构超越有限个体思维意料的普遍联系并不只是一种话语谈论方式。此外，一些学者可能认为巧合与非巧合的转变是任意的，因为缺乏决策原则。但在解释视角下，巧合与非巧合不是随意转变的，至少我们可以为它们找到一条决策原则，这一原则就是“休谟不等式”（Hume’s Inequality）^[33]42。它要求衡量证据为假的概率与巧合发生的概率之间的关系，衡量巧合没有发生的概率和巧合发生的概率之间的关系。换言之，除非证据为假更“巧合”，否则巧合现象不可能发生。根据长期主义，借助休谟不等式数学家可以利用实验数据应用无巧合原则。比如在黎曼猜想与波利亚猜想间进行初步归类，二者的一个根本区别在于，黎曼猜想之所以是无巧合的，是因为它经受了后者所缺乏的休谟不等式的长期主义决策检验。

综上进一步考虑进化深度学习技术辅助数学领域，一项重要关切在于其是否存在适配无巧合原则嵌入的积极高阶证据框架。换言之，基于与无巧合原则相融贯桥接的统计数据假设，以及相应的某种实在论立场。对此答案是肯定的。近年来，一个研究团队根据定量数据提出“柏拉图表征假设”（Platonic Representation Hypothesis），现代神经网络的表征空间正趋于收敛，即不同模型正在趋向于一个统一的现实表征，这一收敛终点就是“柏拉图表征”^[34]。“表征”被定义为输入空间到向量空间的映射，并通过核函数（kernel）来刻画表征诱导的相似性结构。“表征收敛”的操作性定义意味着：不同模型的核在测量数据点间距时越来越一致。一个数学结构被多个独立进化的模型（不同初始种群、不同进化路径）同时发现，这种“共识”本身就构成了非巧合的证据。这要求关注智能体在演进过程中通过捕捉客观信息所发展出相关主题的鲁棒系统，这是一种在鲁棒性维度下对实在论的无巧合原则的刻画。而这正是不变主义（Invarianlism）所提供的，它并不预设因果知识理论^[23]。根据不变主义，我们的核心认知装备支持“正态概念收敛”（normal conceptual convergence）^[35]100或者“意见收敛定理”（convergence-of-opinion theorem），即随着样本增大，在积累足够客观数据时，即使从不同正态分布开始，最终会在任意接近的后验分布上达到一致^[36]240。数学是环境中的客观不变量（invariants），与统一结构相关的数学现象的系统某种程度上反映客观结构信息的存在。根据不变主义的启示，可将多谱系趋同作为筛选机制。如果多个独立演化的模型系统收敛到相似的结构，这种共识某种意义上本身就排除了巧合性，说明该结构追踪了客观不变量。这一逻辑可转化为进化算法的设计原则，如设计以下机制：重复趋同检测，使用不同的随机种子、不同的初始种群、不同的进化路径，重复整个发现过程。如果多次实验都收敛到相同或相似的数学结果，则该结构更可能锁定了客观数学真理；适应度奖励，对与“共识表征”一致的个体给予额外的适应度奖励，加速种群向客观结构收敛。进化深度学习技术数学发现的目标不是拟合训练数据，而是数据背后的数学不变量，多个独立系统的共识可以作为“非巧合”的经验指标。

再来看（2），即数学现象手段是进化惰性的。作为信念内容来源的数学现象与理论有三种可能的关系：即理论驱动论，现象自立论（autonomy）以及中介互动论。理论驱动论主张，所有数学现象都完全由理论创生。现象自主论则强调，数学现象独立于理论表征。中介互动论则介于二者之间。但为得到（2）则需要以理论驱动论为前置。理论驱动论主要源自科学哲学的反新实验主义立场。但是，驱动论在回应以下几方面的数学现象与理论多元性问题上，还未给出令人满意的回答。其一，理论前提的基础主义无穷倒退问题。当检查信念的理论依据时，会发现诉诸理论的前提，乃至前提的前提并以此类推，总是会无穷回溯，因此理论信念最终来源的解释缺乏理论内部中止。其二，从数学统一性的角度看，一个数学现象可以由不同理论给出特征刻画^[25]。那么这一现象独立于单一理论，而不是依赖于该理论的创生。例如，欧氏空间的性质可以由经典几何也可以由线性代数刻画。其三，应当区分理论预测的现象与扩展理论的现象。在数学史上，曼德勃罗分形几何研究以及数值生成Costa-Hoffman曲面等可视化开发工作中分析数据，展示潜在关系的数学现象并非完全从属于理论，揭示出这一区分不必以“发现语境”和“辩护语境”概念为前提。其四，存在数学理论的描述仅限于逼近数学结构层次的情况。比如，一个微分方程理论可能无法得到纳维斯托克斯方程所描述湍流量化关系的精确解，而只能得到近似解。综上，不难看出理论驱动论不是完全稳固的，它存在争议。可见，在考虑数学现象因子的条件下，前提（1）、（2）均存在问题，那么从“数学理论是进化惰性的”推断出“数学信念是进化惰性的”断言本身就存在问题。在此意义上，（EDAM₁）得到了维持。

原则上得到一种现象版本的（EDAM₁）修正方案是可能的。而EAM与EDAM在对（EDAM₁）的辩护选项中具有不对等的策略选项，这可以表明二者并不处于同一位置。在这个意义上，EAM是更为可取的。

四、结 语

本文围绕进化深度学习方法在数学前沿应用引发的认识论问题展开，聚焦于EAM与EDAM关于数学信念真理性的核心论争。研究表明，在AI辅助数学领域，进化深度学习技术不仅是一项具有一阶证据支持的技术路线，也具有建立其合理性的高阶证据框架，即EAM。而EDAM所主张的“数学信念的进化溯源揭示其与数学事实缺乏解释性关联”的立场面临根本性困难。本文以德科鲁兹与斯特佩迪之间的核心论争为线索，论证了EDAM因其内在的自我挫败性而难以成立——其核心前提（EDAM₂）若成立，将导致自身论证基础的瓦解。

EAM能够自然整合长期主义、无巧合原则、趋同进化及数学现象的自立性等洞见。而EDAM及其反实在论立场则严重制约了吸纳这些支持性证据和进行理论调整的能力。EDAM在修正机体性前提以回应挑战时，可利用的策略备选与EAM存在根本性的不对等。

EAM在解释基于进化方法的数学人工智能所取得的成功及正确信念方面，展现出优于EDAM的潜力，是理解进化深度学习技术辅助数学领域中智能算法设计的一种积极高阶证据框架，为综合解释数据驱动的智能进化算法与数学客观性提供了可能路径，为理解使用非形式证明方法在数学领域发现新知的认识论基础提供了独特而富有前景的理论资源。

数据可用性声明：本论文是在理论和逻辑论证方法下进行的，不产生或分析任何数据，因此无论文关联数据。

① 为避免不必要的误解，需要注意：上文高尔斯等学者所说的“巧合”“无巧合”，不是指专门概率研究的问题，而是在关于证明缺席的工作中数学模式、规律或一般性系统行为显现的意义上使用的。